Z Transformation Gleitenden Mittelwert

Z-Transformation Die Z-Transformation und die erweiterte Z-Transformation wurden von E. I. Jury 1958 in Sampled-Data Control Systems (John Wiley amp Sons) (unter der Z-Transformationsbezeichnung) eingeführt. Die Idee, die in der Z-Transformation enthalten war, war vorher als die Erzeugungsfunktion-Methode bekannt. Z-Transformation ist ein Platzhalter-Name, ähnlich dem Aufrufen der Laplace-Transformation der s-Transformation. Genauer wäre Laurent zu transformieren, weil es auf der Laurent-Serie basiert. Die (unilaterale) Z-Transformation ist zu diskreten Zeitbereichssignalen, was die einseitige Laplace-Transformation zu kontinuierlichen Zeitbereichssignalen ist. Definition Die Z-Transformation kann, wie viele andere Integraltransformationen, entweder als einseitige oder zweiseitige Transformation definiert werden. Bilaterale Z-Transformation Die bilaterale oder zweiseitige Z-Transformation eines diskreten Zeitsignals xn ist die Funktion X (z) definiert als wobei n eine ganze Zahl und z im allgemeinen eine komplexe Zahl ist. Unilaterale Z-Transformation Alternativ dazu wird in Fällen, in denen x n nur für n 8805 0 definiert ist, die einseitige oder einseitige Z-Transformation als In-Signalverarbeitung definiert. Diese Definition wird verwendet, wenn das Signal kausal ist. Ein wichtiges Beispiel für die einseitige Z-Transformation ist die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion. Wobei die Komponente xn die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine diskrete Zufallsvariable den Wert n annimmt. Und die Funktion X (z) wird gewöhnlich als X (s) geschrieben. In Form von s z 87221. Die Eigenschaften von Z-Transformationen (unten) haben nützliche Interpretationen im Kontext der Wahrscheinlichkeitstheorie. Inverse Z-Transformation Der inverse Z-Transform ist ein spezieller Fall dieses Konturintegrals, der einfach ist, wo der Einheitskreis (und kann verwendet werden, wenn der ROC den Einheitskreis enthält) die inverse diskrete Zeit-Fourier-Transformation ist. . Die Z-Transformation mit einem endlichen Bereich von n und einer endlichen Anzahl von gleichmäßig beabstandeten z-Werten kann effizient über den Bluesteins-FFT-Algorithmus berechnet werden. Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist ein Spezialfall einer solchen Z-Transformation, die durch Beschränkung von z auf dem Einheitskreis erhalten wird. Bereich der Konvergenz Der Bereich der Konvergenz (ROC) ist, wo die Z-Transformation eines Signals eine endliche Summe für einen Bereich in der komplexen Ebene hat. Beispiel 1 (kein ROC) Betrachtung der Summe Beispiel 3 (antikausaler ROC) Betrachtung der Summe Beispiele Schlussfolgerung Beispiele 2 amp 3 zeigen deutlich, dass die Z-Transformation von einmal und nur einmal eindeutig ist Angabe der ROC. Die Erstellung des Pol-Null-Plots für den kausalen und antikausalen Fall zeigen, dass der ROC für keinen Fall den Pol mit dem Wert 0,5 enthält. Dies bezieht sich auf Fälle mit mehreren Pole: die ROC wird nie Pole. Die Stabilität eines Systems kann auch durch die Kenntnis des ROC allein bestimmt werden. Wenn das ROC den Einheitskreis (d. h.) enthält, dann ist das System stabil. In den obigen Systemen ist das Kausalsystem stabil, weil es den Einheitskreis enthält. Wenn Sie Stabilität benötigen, muss das ROC den Einheitskreis enthalten. Wenn Sie ein kausales System benötigen, dann muss das ROC Infinity enthalten. Wenn Sie ein antikausalen System benötigen, dann muss das ROC den Ursprung enthalten. Eigenschaften Tabelle der üblichen Z-TransformationspaareInstallation zur Filterung 9.3.1 Einführung in die Filterung Im Bereich der Signalverarbeitung ist die Auslegung von digitalen Signalfiltern der Prozess der Unterdrückung bestimmter Frequenzen und der Verstärkung anderer. Ein vereinfachtes Filtermodell ist, wo das Eingangssignal modifiziert wird, um das Ausgangssignal unter Verwendung der Rekursionsformel zu erhalten. Die Implementierung von (9-23) ist einfach und erfordert nur Startwerte, wird dann durch einfache Iteration erhalten. Da die Signale einen Startpunkt haben müssen, ist es üblich, dies und für zu verlangen. Wir betonen dieses Konzept durch die folgende Definition. Definition 9.3 (Kausalsequenz) Angesichts der Eingabe - und Ausgabe-Sequenzen. Wenn und für, so heißt die Folge kausal. Angesichts der Kausalfolge ist es einfach, die Lösung zu (9-23) zu berechnen. Verwenden Sie die Tatsache, dass diese Sequenzen kausal sind: Der allgemeine iterative Schritt ist 9.3.2 Die Basisfilter Die folgenden drei vereinfachten Basisfilter dienen als Illustrationen. (I) Nullfilter, (beachten Sie, dass). (Ii) Boosting Up Filter (beachten Sie, dass). (Iii) Kombinationsfilter. Die Übertragungsfunktion für diese Modellfilter hat die folgende allgemeine Form, in der die z-Transformationen der Eingangs - und Ausgangssequenzen sind bzw. sind. Im vorigen Abschnitt wurde erwähnt, daß die allgemeine Lösung einer homogenen Differenzengleichung nur dann stabil ist, wenn die Nullstellen der charakteristischen Gleichung innerhalb des Einheitskreises liegen. In ähnlicher Weise, wenn ein Filter stabil ist, müssen die Pole der Übertragungsfunktion alle innerhalb des Einheitskreises liegen. Bevor wir die allgemeine Theorie entwickeln, wollen wir die Amplitudenantwort untersuchen, wenn das Eingangssignal eine lineare Kombination von und ist. Die Amplitudenantwort für die Frequenz verwendet das komplexe Einheitssignal und ist definiert als Die Formel wird nach einigen wenigen einleitenden Beispielen genau erklärt werden. Beispiel 9.21. Angesichts des Filters. 9.21 (a). Zeigen Sie, dass es ein Nullabgleich-Filter für die Signale ist und berechnen Sie die Amplitudenantwort. 9.21 (b). Berechnen Sie die Amplitudenantworten und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. 9.21 (c). Berechnen Sie die Amplitudenantworten und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. Abbildung 9.4. Die Amplitudenreaktion für. Abbildung 9.5. Eingang und Ausgang. Abbildung 9.6. Eingang und Ausgang. Lösung 9.21. Beispiel 9.22. Angesichts des Filters. 9.22 (a). Zeigen Sie, dass es ein Verstärkungsfilter für die Signale ist und berechnen Sie die Amplitudenantwort. 9.22 (b). Berechnen Sie die Amplitudenantworten und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. Abbildung 9.7. Die Amplitudenreaktion für. Abbildung 9.8. Eingang und Ausgang. Lösung 9.22. 9.3.3 Die allgemeine Filtergleichung Die allgemeine Form einer Ordnungsfilterdifferenzgleichung ist wo und sind Konstanten. Beachten Sie sorgfältig, dass die Begriffe sind von der Form und wo und, was diese Begriffe zeitlich verzögert. Die kompakte Form des Schreibens der Differenzgleichung ist, wo das Eingangssignal modifiziert wird, um das Ausgangssignal unter Verwendung der Rekursionsformel zu erhalten. Der Teil gibt die Signale aus und verstärkt Signale. Bemerkung 9.14. Die Formel (9-31) heißt die Rekursionsgleichung und die Rekursionskoeffizienten sind und. Es zeigt explizit, daß das vorliegende Ausgangssignal eine Funktion der vergangenen Werte ist, für die gegenwärtige Eingabe und die vorhergehenden Eingaben für. Die Sequenzen können als Signale betrachtet werden, und sie sind Null für negative Indizes. Mit diesen Informationen können wir nun die allgemeine Formel für die Übertragungsfunktion definieren. Verwenden der zeitverzögerten Verschiebungseigenschaft für kausale Sequenzen und Nehmen der z-Transformation von jedem Term in (9-31). Erhalten wir Wir können aus den Summationen herausfaktorieren und dies in einer äquivalenten Form schreiben Aus Gleichung (9-33) erhalten wir, was zu der folgenden wichtigen Definition führt. Definition 9.4 (Übertragungsfunktion) Die Übertragungsfunktion, die der Ordnungsdifferenz-Gleichung (8) entspricht, ergibt sich aus der Formel (9-34) die Übertragungsfunktion für ein unendliches Impulsantwortfilter (IIR-Filter). Im speziellen Fall, wenn der Nenner einheitlich ist, wird er die Übertragungsfunktion für ein Finite-Impuls-Response-Filter (FIR-Filter). Definition 9.5 (Unit-Sample Response) Die Sequenz, die der Transferfunktion entspricht, wird als Unit-Sample-Antwort bezeichnet. Theorem 9.6 (Output Response) Das Ausgangssignal des mit einem Eingangssignal versehenen Filters (10) ergibt sich aus der inversen z-Transformation und in der Faltungsform ist gegeben. Eine andere wichtige Verwendung der Übertragungsfunktion besteht darin, zu untersuchen, wie sich ein Filter auswirkt Verschiedenen Frequenzen. In der Praxis wird ein kontinuierliches Zeitsignal mit einer Frequenz abgetastet, die mindestens das Doppelte der höchsten Eingangssignalfrequenz ist, um Frequenzumkippen oder Aliasing zu vermeiden. Das liegt daran, dass die Fourier-Transformation eines abgetasteten Signals periodisch mit der Periode ist, obwohl wir dies hier nicht beweisen werden. Aliasing verhindert eine genaue Wiederherstellung des ursprünglichen Signals aus seinen Proben. Nun kann gezeigt werden, daß das Argument der Fourier-Transformation über die Formel (9-37) auf den z-Ebenen-Einheitskreis verläuft, wo man die normalisierte Frequenz nennt. Daher ist die auf dem Einheitskreis ausgewertete z-Transformation auch periodisch, mit Ausnahme der Periode. Definition 9.6 (Amplitudenreaktion) Die Amplitudenantwort ist definiert als die Größe der Übertragungsfunktion, die bei dem komplexen Einheitssignal ausgewertet wird. Die Formel ist (9-38) über das Intervall. Der Fundamentalsatz der Algebra impliziert, dass der Zähler Wurzeln hat (Nullen genannt) und der Nenner Wurzeln hat (Pole genannt). Die Nullen können in konjugierten Paaren auf dem Einheitskreis gewählt werden. Für die Stabilität müssen alle Pole innerhalb des Einheitskreises und für. Ferner werden die Pole als reelle Zahlen und / oder konjugierte Paare gewählt. Dies garantiert, daß die Rekursionskoeffizienten alle reellen Zahlen sind. IIR-Filter können alle Pol oder Null-Pol und Stabilität ist ein Anliegen FIR-Filter und alle Null-Filter sind immer stabil. 9.3.4 Aufbau der Filter In der Praxis wird die Rekursionsformel (10) zur Berechnung des Ausgangssignals verwendet. Das digitale Filterdesign basiert jedoch auf der obigen Theorie. Man beginnt, indem man die Position der Nullen und Pole entsprechend den Anforderungen des Filterdesigns und der Konstruktion der Übertragungsfunktion auswählt. Da die Koeffizienten in real sind, müssen alle Nullen und Pole mit einer imaginären Komponente in konjugierten Paaren auftreten. Dann werden die Rekursionskoeffizienten in (13) identifiziert und in (10) zum Schreiben des rekursiven Filters verwendet. Sowohl der Zähler als auch der Nenner von können in quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten und möglicherweise einem oder zwei linearen Faktoren mit reellen Koeffizienten faktorisiert werden. Die folgenden Prinzipien werden verwendet, um zu konstruieren. (I) Nullabgleichfaktoren Um die Signale herauszufiltern, verwenden Sie Faktoren der Form im Zähler von. Sie werden dazu beitragen, den Begriff (ii) Boosting Up Factors Um die Signale zu verstärken und nutzen Faktoren der Form